Τι (ποιος) είναι Целая функция - ορισμός

Целая функция — функция, регулярная во всей комплексной плоскости. Типичным примером целой функции может служить многочлен или экспонента, а также суммы, произведения и композиции этих функций. Ряд Тейлора целой функции сходится во всей плоскости комплексного переменного. Логарифм, квадратный корень не являются целыми функциями.

Отметим, что целая функция может иметь особенность (в т.ч. даже существенную особенность) в бесконечности. Как следует из теоремы Лиувилля, функция, которая не имеет особых точек на всей расширенной комплексной плоскости, должна быть постоянной (это свойство может быть использовано для элегантного доказательства основной теоремы алгебры).

Целая функция, имеющая на бесконечности полюс, должна быть многочленом. Таким образом, все целые функции, не являющиеся многочленами (в частности, тождественно постоянными) имеют на бесконечности существенно особую точку. Такие функции называются трансцендентными целыми функциями.

Малая теорема Пикара значительно усиливает теорему Лиувилля: не равная тождественно постоянной целая функция принимает все комплексные значения, кроме, возможно, одного. Примером является экспоненциальная функция, принимающая в качестве значений все комплексные числа, кроме нуля.

Дж. Литлвуд в одной из своих книг указывает сигма-функцию Вейерштрасса в качестве «типичного» примера целой функции.